Le théorème de Pythagore

Dimanche 8 mai 2005, par Bernard Godon, Fabrice Eudes

Une séquence complète en six étapes pour aborder le théorème de Pythagore et sa réciproque.

Présentation :
- auteur : Bernard Godon
- statut : séquence complète avec documents pour le professeur et documents à photocopier.

Déroulement :
- lieu : salle de classe
- durée : 4 heures
- organisation : alternance de travail individuel et de travail en groupe
- matériel enseignant :

  • prévoir les photocopies des différentes fiches ;
  • fabriquer les pièces du puzzle ( il doit pouvoir être montré au rétroprojecteur) ;
  • fabriquer le cordeau égyptien.

- matériel élève :

  • quelques crayons de couleur ;
  • une calculatrice.

But :
- intérêt pédagogique :

  • étape 1 : le test « longueur et aire »
    • approche naturelle de la notion de racine carrée d’un nombre positif. D’après les historiens, c’est de cette façon qu’elle apparut aux pythagoriciens. Les élèves découvrent la notion de nombre irrationnel à partir d’activités simples et de concepts qu’ils connaissent déjà ;
    • à l’occasion de l’introduction de la racine carrée, les élèves sont amenés à s’interroger sur les limites de la calculatrice.

Test longueurs et aires

  • étape 2 : le papier pointé
    • les élèves découvrent le théorème par eux-mêmes, l’enseignant crée des conditions favorables à son apprentissage.

Papier pointé

  • étape 3 : le puzzle
    • après l’étape n°2, qui a le même but, les élèves renforcent la même image mentale. En outre, ils découvrent le théorème par une activité différente, faisant appel à la manipulation.

Puzzle

  • étape 4 : la démonstration
    • les trois démonstrations, choisies parmi toutes celles qui sont possibles, ont leur interêt :
      • la démonstration par les aires est l’une des plus simples et vient naturellement à la suite des séquences précédentes ;
      • la seconde démonstration utilise le calcul littéral et permet de travailler ce point important du programme ;
      • la démonstration par le cosinus est l’occasion de réinvestir une notion ancienne (la proportion) et une notion nouvelle (le cosinus).
    • l’initiation à la démonstration est un point important du programme de 4ème.

Démonstration de Pythagore par les aires

  • étape 5 : la réciproque
    • l’introduction à la réciproque du théorème de Pythagore est faite d’une façon vivante, à partir d’un objet tiré de la civilisation égyptienne.

Réciproque du théorème de Pythagore

  • étape 6 : les trois visages de Pythagore
    • la confusion entre théorème direct, la réciproque et la contraposée est un problème récurrent de l’enseignement des mathématiques, même au niveau supérieur. Il est important de l’aborder très tôt dans la scolarité.

- objectifs :

  • étape 1 : le test « longueur et aire »
    • évaluation des connaissances des quadrilatères, de la notion de carré, d’aire et de périmètre ;
    • évaluation des connaissances de la notion d’aire ;
    • introduction de la racine carrée (sa nature irrationnelle et sa définition).
  • étape 2 : le papier pointé
    • permet aux élèves de conjecturer le théorème de Pythagore.
  • étape 3 : le puzzle
    • permet aux élèves de conjecturer le théorème de Pythagore.
  • étape 4 : la démonstration
    • initiation à la démonstration. Trois démonstrations au choix sont proposées :
      • la démonstration par les aires ;
      • la démonstration littérale ;
      • la démonstration par cosinus.
  • étape 5 : la réciproque
    • introduire la réciproque du théorème de Pythagore ;
    • démontrer la réciproque du théorème de Pythagore (dans les classes dont le niveau le permet).
  • étape 6 : les trois visages de Pythagore
    • montrer la différence entre théorème direct, la réciproque et la contraposée ;
    • apprendre aux élèves à analyser les données d’un problème en vue de déterminer s’ils vont utiliser le théorème direct, la réciproque ou la contraposée ;
    • apprendre aux élèves à rédiger différemment selon qu’ils utilisent le théorème direct, la réciproque ou la contraposée.- remarque : un document à usage du professeur est proposé, qui met en évidence la confusion qui peut se faire entre théorème direct, la réciproque et la contraposée. Prérequis :
      - savoirs : la notion d’aire (les connaissances sur cette notion sont évaluées dans la première séquence).

Correspondance avec les instructions officielles :

Arrété du 10-1-1997 JO du 21-1-1997

Extraits du programme :

— Caractériser le triangle rectangle : par la propriété de Pythagore et sa réciproque.
— Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres. En donner, s’il y a lieu, une valeur approchée, en faisant éventuellement usage de la touche d’une calculatrice.
— Trouver à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre positif.

Le théorème de Pythagore fournit l’occasion de calculer des racines carrées de nombres positifs dans des cas qui relèvent d’une situation où le nombre calculé a une signification que l’élève peut identifier. On peut aussi rattacher le calcul d’une racine carrée à des problèmes où interviennent l’aire d’un carré et la mesure de son côté.

Références :
- articles :

  • Curiosités géométriques : E Fourrey, Vuibert et Nony éditeurs, Paris, 1907 ;
  • Dictionnaire des mathématiques : Stella Baruk, Le Seuil ;
  • Py,Pytha, Pythagore : A. Deledicq, Collection Maths pour tous, vol 3, éditions ACL ;
  • Repères IREM n°1, 5, 15 et 17 : éditions Topiques, Pont- A - Mousson ;
  • Document d’accompagnement du programme de mathématiques : Françoise Vandieren, src Licap, Bruxelles.

Documents à télécharger

1. Le test "longueur et aire"

PDF - 54 ko
Test longueurs et aires
Fiche élève
OpenOffice.org - 14.8 ko
Test longueurs et aires
Source OpenOffice.org Writer
PDF - 113.6 ko
Test longueurs et aires, commentaires
Commentaires pour le professeur
OpenOffice.org - 11.2 ko
Test longueurs et aires, commentaires
Source OpenOffice.org Writer

2. le papier pointé

PDF - 37.3 ko
Papier pointé
Fiche élève
OpenOffice.org - 13.7 ko
Papier pointé
Source OpenOffice.org Writer
PDF - 80.5 ko
Papier pointé, commentaires
Commentaires pour le professeur
OpenOffice.org - 9.4 ko
Papier pointé, commentaires
Source OpenOffice.org Writer

3. le puzzle

PDF - 26.5 ko
Puzzle 1
Fiche élève et rétroprojetable.
PDF - 27.5 ko
Puzzle 2
Pièces à découper pour utilisation au rétroprojecteur.
PDF - 109.9 ko
Puzzle, commentaires
Commentaires pour le professeur
OpenOffice.org - 16.2 ko
Puzzle, commentaires
Source OpenOffice.org Writer

4. la démonstration

4.a. la démonstration par les aires

PDF - 39.5 ko
Démonstration de Pythagore par les aires
Fiche élève à imprimer
Zip - 13 ko
Démonstration de Pythagore par les aires
Archive compressée de la source LaTeX et des figures au format pdf
PDF - 160.2 ko
Démonstration de Pythagore par les aires, commentaires
Commentaires pour le professeur
Zip - 21.1 ko
Démonstration de Pythagore par les aires, commentaires
Archive compressée de la source OpenOffice.org Writer et des figures au format png

4.b. la démonstration littérale

PDF - 80.2 ko
Démonstration de Pythagore par le calcul littéral
Commentaires pour le professeur
Zip - 33.2 ko
Démonstration de Pythagore par le calcul littéral
Source OpenOffice.org Writer et figures au format png

4.c. la démonstration par cosinus

PDF - 82 ko
Démonstration de Pythagore par le cosinus
Fiche "à trous" élève et commentaires
OpenOffice.org - 45 ko
Démonstration de Pythagore par le cosinus
Source OpenOffice.org Writer

5. la réciproque

PDF - 136.5 ko
Réciproque du théorème de Pythagore
Commentaires pour le professeur
Zip - 53.5 ko
Réciproque du théorème de Pythagore
Archive compressée de la source OpenOffice.org Writer et des figures au format png

6. Les trois visages de Pythagore

PDF - 95.3 ko
Les trois visages de Pythagore
Fiche élève :
- 3 exercices avec solutions réciproques ;
- un problème de synthèse.
Zip - 39.3 ko
Les trois visages de Pythagore
Archive compressée de la source OpenOffice.org Writer et une figure au format png
PDF - 120 ko
Les trois visages de Pythagore, commentaires
Commentaires pour le professeur
Zip - 31 ko
Les trois visages de Pythagore, commentaires
Archive compressée de la source OpenOffice.org Writer et des figures au format png

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14 Messages de forum

  • > Le théorème de Pythagore 13 août 2005 18:52, par benjamin Clerc

    Bonjour, (salut Farice)

    La construction du point D dans le document 5 me laisse perplexe ! Vous écrivez "comme l’indique la figure" ... j’ai du mal à bien voir :-(
    Vous entendez quoi par là ?

    Bien cordialement,

    Benjamin Clerc

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    • > Le théorème de Pythagore 16 août 2005 08:57

      On trace le demi-cercle de diamètre [AB] ne contenant pas C. Le point D est l’intersection de ce demi-cercle avec le cercle de centre A et de rayon [AC].
      Bien cordialement,
      Bernard

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  • > Le théorème de Pythagore 5 décembre 2005 17:54

    Bonjour, je voulais juste vous remercier d’avoir créé un site parlant de Pythagore, il m’a permis de trouver des informations supplémentaires pour mon travail de fin d’études.

    Bien à vous
    Julie

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  • Le théorème de Pythagore 13 novembre 2006 21:20, par LG

    Bonjour, je tenais à vous dire que votre site est vraiment complet, et très intéressant.J’avais besoin d’idées pour mon cours sur la réciproque du théorème de Pythagore, et là je suis vraiment servie !!

    Merci aussi pour le document "Les trois visages", c’est une très bonne fiche pour finir le cours et tout récapituler !

    Amicalement,LG

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    • Le théorème de Pythagore 4 décembre 2006 22:42, par 59230

      bonjour je suis en 4eme et je m’interesse en math meme si se n’est pas mon poits fort en ce moment j’apprend le theoreme de pythagore je dit a tout le monde que c’est pas dur il suffit de comprendre car moi en ce moment je fais des exercice sur le theoreme de pythagore et j’arrive tres bien et aussi en numerique mes bon ici on parle surtout du theoreme de pythagore si vous avez un site sur des test que l’on peut faire en ligne disait le moi a l’adresse suivant 59230@voila.fr je vous la confie c’est mon adresse pour les gens inconnu

      merci de me repondre a ma question que j’ai poser a tres bientot

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  • La racine carrée et le théorème de Pythagore 13 décembre 2006 00:53, par autiermaths

    Bravo et merci pour ce merveilleux site que je découvre à l’instant, il n’est jamais trop tard puisque j’ai 33 ans !!!
    Je vous félicite pour la qualité de votre travail et je trouve passionnant que de jeunes stagiaires ou élèves vous rendent visite !

    Je me permets une petite suggestion concernant l’approche du Théorème de Pythagore ; c’est un moyen simple que j’ai constaté pour attirer facilement l’attention des élèves, parfois dispersés dans mon collège sensible...
    Après la découverte de la racine carrée, il ne m’apparaît pas inutile de procéder à une séance de calcul mental : 3 exemples préliminaires où le plus rapide à lever la main répond, suivis de 10 calculs dictés chacun 2 fois, de 5 à 10 secondes pour chaque écriture d’expression suivie de la réponse. On demandera d’abord quelques carrés d’entiers, voire de décimaux tels que O,1² ou O,5², avant de demander quelques racines carrées d’entiers simples, voire racine(121) ou racine(144). Les élèves s’auto-évaluent et se notent de 0 à 20 selon qu’ils ont correctement écrit l’expression et fourni la bonne réponse.

    Voilà j’espère que cette contribution n’était pas déplacée !
    A bientôt

    F.Autier, professeur de mathématiques

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    • Merci pour vos encouragements. N’hésitez pas à me faire part de vos remarques ; elles nous sont très précieuses.
      M. GODON

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      • Problème typographique 2 septembre 2007 21:40

        Détail : dans la fiche "Commentaires sur les trois visages de Pythagore" les notations "puissances" ne sont pas écrites à l’exposant.
        Bravo pour vos suggestions sur la manière d’aborder le théorème de Pythagore.

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        • Problème typographique 2 septembre 2007 22:03, par fabrice eudes

          En relisant, je n’ai trouvé qu’un seul "2" qui n’était pas placé en exposant, celui de BC^2 (C, en-dessous du mot "réciproque").
          J’ai également trouvé un "nest" au lieu de "n’est".

          Faut-il corriger autre chose ?

          merci.

          PS : je mettrai à jour dans la semaine, mais en attendant le source openoffice est modifiable par chacun :-)

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  • Le théorème de Pythagore 12 juin 2008 21:21, par SK

    UN GRAND MERCI POUR CE TRAVAIL REMARQUABLE QUE VOUS METTEZ GENEREUSEMENT A LA DISPOSITION DE TOUS !!!!

    Vive les Mathématiques et le partage du savoir...

    Amicalement,

    Une future-ex-contractuelle...

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  • Le théorème de Pythagore 16 juin 2008 10:37, par un belge

    Bonjour,

    Pas encore aussi vieux que ce bon Pythagore !! Mais j’ai quand même pas mal d’années de bouteille et je me suis "battu" avec certains esprits d’élèves ... Superbe site, magnifiques démonstrations, travail impeccable ; bref en un mot "FELICITATIONS"

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  • Le théorème de Pythagore 16 février 2009 23:22, par Joséphine.

    Merci, Merci beaucoup ! Grâce à vous et toutes vos explications, j’ai obtenu de très bonnes notes à mon dernier contrôle :) !

    Tout est clair & détaillé et grâce à vous, j’ai enfin compris Pythagore et je suis passée de 10,5 à 14 ,5 !

    Merci encore, bonne continuation

    Joséphine.

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  • Le théorème de Pythagore 18 septembre 2012 20:42, par Beranger

    Merci beaucoup pour cet énorme travail mis à la disposition de tous.
    Beranger, professeur

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